假设我们有一个样本，其中n=100，p̂=0.3。验证是否满足正态近似条件：

• np̂ = 100 × 0.3 = 30 ≥ 5 ✓
• n(1-p̂) = 100 × (1-0.3) = 70 ≥ 5 ✓

由于两个条件都满足，可以使用正态近似来构建置信区间。

问题：一位医学研究人员想知道美国成年人吸烟者的比例是否与五年前（约28%）相比有统计学上的显著变化。研究人员随机选择了1500名成年人，其中360人回答他们是吸烟者。计算成年人吸烟的真实总体比例的95%置信区间，并确定与五年前相比，吸烟者比例是否有统计学上的显著变化。

解答：

1. 计算样本比例：p̂ = x/n = 360/1500 = 0.24
2. 验证正态近似条件：
   • np̂ = 1500 × 0.24 = 360 ≥ 5 ✓
   • n(1-p̂) = 1500 × (1-0.24) = 1140 ≥ 5 ✓
3. 对于95%置信水平，z_c = 1.96
4. 计算边际误差：E = 1.96 × √[0.24 × (1-0.24)/1500] ≈ 0.0216
5. 构建置信区间：
   • 下限 = 0.24 – 0.0216 = 0.2184
   • 上限 = 0.24 + 0.0216 = 0.2616

因此，95%置信区间为[0.2184, 0.2616]，即[21.84%, 26.16%]。由于五年前的比例28%不在这个区间内，我们可以得出结论，吸烟者比例有统计学上的显著下降。

问题：一位福利分析师对化学工程师平均薪水的90%置信区间感兴趣。如果期望的边际误差为1000美元，分析师应该使用多大的样本量？假设总体标准差为8000美元。

解答：

1. 对于90%置信水平，z_c = 1.645
2. 计算样本量：n = (1.645 × 8000 / 1000)² = (13.16)² ≈ 173.19
3. 向上取整：n = 174

因此，分析师应该使用至少174个样本。

问题：政治候选人史密斯计划进行一项调查，以确定计划投票给史密斯的选民比例的95%置信区间。应该调查多少人？假设边际误差为3%。

情况1：假设没有计划投票给候选人史密斯的选民比例的先验估计

1. 使用p̂=0.5
2. 对于95%置信水平，z_c = 1.96
3. 计算样本量：n = 0.5 × (1-0.5) × (1.96 / 0.03)² = 0.25 × (65.33)² ≈ 1067.11
4. 向上取整：n = 1068

情况2：假设根据先前的选举结果，大约42%的人之前投票给候选人史密斯

1. 使用p̂=0.42
2. 对于95%置信水平，z_c = 1.96
3. 计算样本量：n = 0.42 × (1-0.42) × (1.96 / 0.03)² = 0.2436 × (65.33)² ≈ 1039.98
4. 向上取整：n = 1040

因此，如果没有先验估计，应该调查1068人；如果有先验估计42%，则应该调查1040人。

问题：一位大学管理员正在开发新的营销材料以增加学院的入学率，管理员对学生平均年龄的90%置信区间感兴趣。

管理员认为年龄的底层分布是偏斜的（不服从正态分布），因此将使用自助法来构建置信区间。管理员随机选择了20名学生，并记录了他们的年龄，如下表所示。使用自助法通过重复抽取大小为10的样本来构建90%的置信区间。

使用Python实现自助法：

Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 学生年龄数据
ages = np.array([22, 24, 21, 34, 29, 23, 21, 20, 19, 21, 
                25, 28, 22, 37, 24, 31, 23, 19, 26, 20])

# 自助法函数
def bootstrap(data, n_bootstrap=1000, sample_size=10):
    bootstrap_means = []
    for _ in range(n_bootstrap):
        # 有放回抽样
        sample = np.random.choice(data, size=sample_size, replace=True)
        # 计算样本均值
        bootstrap_means.append(np.mean(sample))
    return np.array(bootstrap_means)

# 执行自助法
bootstrap_means = bootstrap(ages, n_bootstrap=10000, sample_size=10)

# 计算90%置信区间
lower = np.percentile(bootstrap_means, 5)
upper = np.percentile(bootstrap_means, 95)

print(f"90%置信区间: [{lower:.2f}, {upper:.2f}]")

# 绘制自助法分布
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(bootstrap_means, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='skyblue')
plt.axvline(lower, color='red', linestyle='--', label=f'5%分位数: {lower:.2f}')
plt.axvline(upper, color='red', linestyle='--', label=f'95%分位数: {upper:.2f}')
plt.axvline(np.mean(ages), color='green', linestyle='-', label=f'原始样本均值: {np.mean(ages):.2f}')
plt.title('自助法样本均值分布')
plt.xlabel('样本均值')
plt.ylabel('密度')
plt.legend()
plt.show()

通过自助法，我们得到了学生平均年龄的90%置信区间。这种方法不依赖于年龄分布的正态性假设，因此适用于偏斜分布的情况。

Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# 设置参数
population_mean = 50
population_std = 10
sample_size = 30
confidence_level = 0.95
n_simulations = 100

# 计算临界值
z_critical = np.abs(np.stats.norm.ppf((1 - confidence_level) / 2))

# 存储置信区间和是否包含总体均值
intervals = []
contains_population_mean = []

# 模拟过程
for _ in range(n_simulations):
    # 生成样本
    sample = np.random.normal(population_mean, population_std, sample_size)
    
    # 计算样本统计量
    sample_mean = np.mean(sample)
    sample_std = np.std(sample, ddof=1)
    
    # 计算边际误差
    margin_of_error = z_critical * (sample_std / np.sqrt(sample_size))
    
    # 计算置信区间
    lower_bound = sample_mean - margin_of_error
    upper_bound = sample_mean + margin_of_error
    
    # 存储结果
    intervals.append((lower_bound, upper_bound))
    contains_population_mean.append(lower_bound <= population_mean <= upper_bound)

# 计算包含总体均值的比例
containment_rate = np.mean(contains_population_mean)
print(f"包含总体均值的置信区间比例: {containment_rate:.2f}")

# 绘制置信区间
plt.figure(figsize=(12, 8))
for i, (lower, upper) in enumerate(intervals):
    color = 'green' if contains_population_mean[i] else 'red'
    plt.plot([i, i], [lower, upper], color=color, linewidth=1.5)
    plt.scatter(i, (lower + upper) / 2, color=color, s=10)

plt.axhline(y=population_mean, color='blue', linestyle='--', label=f'总体均值: {population_mean}')
plt.title(f'{n_simulations}个95%置信区间（包含率: {containment_rate:.2f}）')
plt.xlabel('模拟编号')
plt.ylabel('置信区间')
plt.legend()
plt.show()

这种模拟可以帮助我们直观地理解置信区间的含义。在理想情况下，大约95%的置信区间应该包含总体均值。通过多次模拟，我们可以验证这一理论，并观察样本量、总体变异等因素对置信区间的影响。