单调队列结构解决滑动窗口问题
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
| LeetCode | 力扣 | 难度 |
|---|---|---|
| 239. Sliding Window Maximum | 239. 滑动窗口最大值 | 🔴 |
| 面试题59 - II. 队列的最大值 LCOF | 面试题59 - II. 队列的最大值 | 🟠 |
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[!NOTE]
阅读本文前，你需要先学习：
前文用 单调栈解决三道算法问题 介绍了单调栈这种特殊数据结构，本文写一个类似的数据结构「单调队列」。
也许这种数据结构的名字你没听过，其实没啥难的，就是一个「队列」，只是使用了一点巧妙的方法，使得队列中的元素全都是单调递增（或递减）的。
为啥要发明「单调队列」这种结构呢，主要是为了解决下面这个场景：
给你一个数组 window，已知其最值为 A，如果给 window 中添加一个数 B，那么比较一下 A 和 B 就可以立即算出新的最值；但如果要从 window 数组中减少一个数，就不能直接得到最值了，因为如果减少的这个数恰好是 A，就需要遍历 window 中的所有元素重新寻找新的最值。
这个场景很常见，但不用单调队列似乎也可以，比如 优先级队列（二叉堆） 就是专门用来动态寻找最值的，我创建一个大（小）顶堆，不就可以很快拿到最大（小）值了吗？
如果单纯地维护最值的话，优先级队列很专业，队头元素就是最值。但优先级队列无法满足标准队列结构「先进先出」的时间顺序，因为优先级队列底层利用二叉堆对元素进行动态排序，元素的出队顺序是元素的大小顺序，和入队的先后顺序完全没有关系。
所以，现在需要一种新的队列结构，既能够维护队列元素「先进先出」的时间顺序，又能够正确维护队列中所有元素的最值，这就是「单调队列」结构。
「单调队列」这个数据结构主要用来辅助解决滑动窗口相关的问题，前文 滑动窗口核心框架 把滑动窗口算法作为双指针技巧的一部分进行了讲解，但有些稍微复杂的滑动窗口问题不能只靠两个指针来解决，需要上更先进的数据结构。
比方说，你注意看前文 滑动窗口核心框架 讲的几道题目，每当窗口扩大（right++）和窗口缩小（left++）时，你单凭移出和移入窗口的元素即可决定是否更新答案。
但本文开头说的那个判断一个窗口中最值的例子，你无法单凭移出窗口的那个元素更新窗口的最值，除非重新遍历所有元素，但这样的话时间复杂度就上来了，这是我们不希望看到的。
我们来看看力扣第 239 题「滑动窗口最大值」，就是一道标准的滑动窗口问题：
给你输入一个数组 nums 和一个正整数 k，有一个大小为 k 的窗口在 nums 上从左至右滑动，请你输出每次窗口中 k 个元素的最大值。
函数签名如下：
int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k);比如说力扣给出的一个示例：
输入：nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], k = 3
输出：[3,3,5,5,6,7]
解释：
滑动窗口的位置 最大值
--------------- -----
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 7接下来，我们就借助单调队列结构，用 $O(1)$ 时间算出每个滑动窗口中的最大值，使得整个算法在线性时间完成。
一、搭建解题框架
在介绍「单调队列」这种数据结构的 API 之前，先来对比一下 普通的队列 的标准 API 和单调队列实现的 API：
// 普通队列的 API
class Queue {
// enqueue 操作，在队尾加入元素 n
void push(int n);
// dequeue 操作，删除队头元素
void pop();
}
// 单调队列的 API
class MonotonicQueue {
// 在队尾添加元素 n
void push(int n);
// 返回当前队列中的最大值
int max();
// 队头元素如果是 n，删除它
void pop(int n);
}当然，单调队列这几个 API 的实现方法肯定跟一般的 Queue 不一样，不过我们暂且不管，而且认为这几个操作的时间复杂度都是 O(1)，先把这道「滑动窗口」问题的解答框架搭出来：
int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
MonotonicQueue window = new MonotonicQueue();
List<Integer> res = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (i < k - 1) {
// 先把窗口的前 k - 1 填满
window.push(nums[i]);
} else {
// 窗口开始向前滑动
// 移入新元素
window.push(nums[i]);
// 将当前窗口中的最大元素记入结果
res.add(window.max());
// 移出最后的元素
window.pop(nums[i - k + 1]);
}
}
// 将 List 类型转化成 int[] 数组作为返回值
int[] arr = new int[res.size()];
for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
arr[i] = res.get(i);
}
return arr;
}
这个思路很简单吧，下面我们开始重头戏，单调队列的实现。
二、实现单调队列数据结构
观察滑动窗口的过程就能发现，实现「单调队列」必须使用一种数据结构支持在头部和尾部进行插入和删除，很明显 双链表 是满足这个条件的。
「单调队列」的核心思路和「单调栈」类似，push 方法依然在队尾添加元素，但是要把前面比自己小的元素都删掉：
class MonotonicQueue {
// 双链表，支持快速在头部和尾部增删元素
// 维护其中的元素自尾部到头部单调递增
private LinkedList<Integer> maxq = new LinkedList<>();
// 在尾部添加一个元素 n，维护 maxq 的单调性质
public void push(int n) {
// 将前面小于自己的元素都删除
while (!maxq.isEmpty() && maxq.getLast() < n) {
maxq.pollLast();
}
maxq.addLast(n);
}
}你可以想象，加入数字的大小代表人的体重，体重大的会把前面体重不足的压扁，直到遇到更大的量级才停住。
如果每个元素被加入时都这样操作，最终单调队列中的元素大小就会保持一个单调递减的顺序，因此我们的 max 方法就很好写了，只要把队头元素返回即可；pop 方法也是操作队头，如果队头元素是待删除元素 n，那么就删除它：
class MonotonicQueue {
// 为了节约篇幅，省略上文给出的代码部分...
public int max() {
// 队头的元素肯定是最大的
return maxq.getFirst();
}
public void pop(int n) {
if (n == maxq.getFirst()) {
maxq.pollFirst();
}
}
}pop 方法之所以要判断 n == maxq.getFirst()，是因为我们想删除的队头元素 n 可能已经在 push 的过程中被「压扁」了，可能已经不存在了，这种情况就不用删除了：
至此，单调队列设计完毕，看下完整的解题代码：
// 单调队列的实现
class MonotonicQueue {
LinkedList<Integer> maxq = new LinkedList<>();
public void push(int n) {
// 将小于 n 的元素全部删除
while (!maxq.isEmpty() && maxq.getLast() < n) {
maxq.pollLast();
}
// 然后将 n 加入尾部
maxq.addLast(n);
}
public int max() {
return maxq.getFirst();
}
public void pop(int n) {
if (n == maxq.getFirst()) {
maxq.pollFirst();
}
}
}
class Solution {
int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
MonotonicQueue window = new MonotonicQueue();
List<Integer> res = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (i < k - 1) {
// 先填满窗口的前 k - 1
window.push(nums[i]);
} else {
// 窗口向前滑动，加入新数字
window.push(nums[i]);
// 记录当前窗口的最大值
res.add(window.max());
// 移出旧数字
window.pop(nums[i - k + 1]);
}
}
// 需要转成 int[] 数组再返回
int[] arr = new int[res.size()];
for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
arr[i] = res.get(i);
}
return arr;
}
}有一点细节问题不要忽略，在实现 MonotonicQueue 时，我们使用了 Java 的 LinkedList，因为链表结构支持在头部和尾部快速增删元素；而在解法代码中的 res 则使用的 ArrayList 结构，因为后续会按照索引取元素，所以数组结构更合适。其他语言的实现也要注意这些细节。
关于单调队列 API 的时间复杂度，读者可能有疑惑：push 操作中含有 while 循环，最坏情况下的时间复杂度应该 $O(N. $ 呀，再加上一层 for 循环，本算法的时间复杂度应该是 $O(N^2)$ 才对吧？✅
这里就用到了 算法时空复杂度分析指南 中讲到的摊还分析：
单独看 push 操作，最坏时间复杂度确实是 $O(N. $，但是平均时间复杂度是 $O(1)$。我们一般用平均复杂度而不是最坏时间复杂度来衡量 API 接口，所以这个算法整体的时间复杂度是 $O(N)$，而不是 $O(N^2)$。✅
也可以这样从整体上分析：整个算法做的事情就是把 nums 中的每个元素加入和移出 window 至多一次，不可能把同一个元素多次移入移出 window，所以整体的时间复杂度是 $O(N. $。✅
空间复杂度很容易分析，就是窗口的大小 $O(k)$。
拓展延伸
最后，我提出几个问题请大家思考：
1、本文给出的 MonotonicQueue 类只实现了 max 方法，你是否能够再额外添加一个 min 方法，在 $O(1)$ 的时间返回队列中所有元素的最小值？
2、本文给出的 MonotonicQueue 类的 pop 方法还需要接收一个参数，这不那么优雅，而且有悖于标准队列的 API，请你修复这个缺陷。
3、请你实现 MonotonicQueue 类的 size 方法，返回单调队列中元素的个数（注意，由于每次 push 方法都可能从底层的 q 列表中删除元素，所以 q 中的元素个数并不是单调队列的元素个数）。
也就是说，你是否能够实现单调队列的通用实现：
// 单调队列的通用实现，可以高效维护最大值和最小值
class MonotonicQueue<E extends Comparable<E>> {
// 标准队列 API，向队尾加入元素
public void push(E elem);
// 标准队列 API，从队头弹出元素，符合先进先出的顺序
public E pop();
// 标准队列 API，返回队列中的元素个数
public int size();
// 单调队列特有 API，O(1) 时间计算队列中元素的最大值
public E max();
// 单调队列特有 API，O(1) 时间计算队列中元素的最小值
public E min();
}我将在 单调队列通用实现及应用 中给出单调队列的通用实现和经典习题。更多数据结构设计类题目参见 数据结构设计经典习题。
引用本文的文章
- [【强化练习】单调队列的通用实现及经典习题](https://labuladong.online/algo/problem-set/monotonic-queue/)
- [算法时空复杂度分析实用指南](https://labuladong.online/algo/essential-technique/complexity-analysis/)