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循环神经网络（RNN）长期以来一直是建模时序数据的经典架构，但它们在训练长序列时却臭名昭著地难以训练。这是因为随着时间的推移，向后传播的误差信号往往会消失或爆炸。近年来，状态空间模型（SSM）作为 RNN 的一个子类，成功地克服了这些困难，这挑战了我们对 RNN 的理论理解。

本文深入探讨了 RNN 的优化挑战，发现随着网络记忆的增加，其参数的变化会导致输出变化越来越大，使得基于梯度的学习高度敏感，即使没有爆炸梯度。我们的分析进一步揭示了逐元素递归设计模式与精心参数化的重要性，它们可以减轻这种影响。这种特性存在于 SSM 中，也存在于其他架构中，例如 LSTM。总体而言，我们的见解为 RNN 基于梯度学习的一些困难提供了一个新的解释，以及为什么某些架构比其他架构表现更好的原因。

消失和爆炸梯度：一个老问题

循环神经网络的训练难点在于，随着时间的推移，误差信号会不断累积，导致梯度要么消失，要么爆炸。这就像一个传声筒，声音在传递过程中不断衰减或放大。

公式说明：

假设一个 RNN 的隐藏状态为 ht，更新函数为 fθ，参数为 θ，输入序列为 (xt)t。网络的平均性能由损失函数 L 来衡量。

ht+1 = fθ(ht, xt+1)
L = E[ (1/T. * Σ(t=1 to T) Lt(ht) ]✅

其中，Lt 表示在时间步 t 的损失。

梯度消失和爆炸的根源：

梯度消失和爆炸的根本原因在于，在反向传播过程中，误差信号会乘以一个称为雅可比矩阵（Jacobian matrix）的矩阵。如果该矩阵的特征值小于 1，误差信号就会不断衰减，导致梯度消失；反之，如果特征值大于 1，误差信号就会不断放大，导致梯度爆炸。

解决方法：

为了解决这个问题，人们提出了各种方法，例如：

LSTM 和 GRU： 这些架构引入了记忆单元，可以存储和检索信息，并通过特殊的门控机制控制误差信号的流动，从而避免梯度消失或爆炸。
梯度裁剪： 将梯度的大小限制在一个范围内，防止其过大或过小。
活动归一化： 通过对神经元的活动进行归一化，使梯度保持在一个合理的范围内。
权重初始化： 使用合适的权重初始化方法，可以避免梯度消失或爆炸。
架构约束： 通过对网络结构进行约束，例如使用分层处理、正交权重矩阵或振荡机制，可以改善梯度传播。

记忆的诅咒：一个新挑战

传统的观点认为，解决消失和爆炸梯度问题就足以让 RNN 学习长期依赖关系。然而，我们发现，即使解决了这些问题，RNN 仍然面临着一个新的挑战：记忆的诅咒。

直观解释：

RNN 的更新函数 fθ 会反复应用，这意味着修改参数 θ 不仅会影响一次更新，还会影响所有未来的更新。随着网络记忆的增加，隐藏状态会保留更多更新的影响，从而变得对参数变化更加敏感。

数学分析：

我们可以通过分析隐藏状态 ht 对参数 θ 的敏感度来理解记忆的诅咒：

dht/dθ = Σ(t'≤t) dht/dht' * ∂fθ/∂θ(ht'-1, xt')

当网络记忆更长时，雅可比矩阵 dht’/dht 的非零项数量会增加，导致敏感度增加。

线性对角循环神经网络的分析：

为了更深入地理解记忆的诅咒，我们分析了线性对角循环神经网络，其更新函数为：

ht+1 = λ ⊙ ht + xt+1

其中，λ 是一个向量，⊙ 表示逐元素乘积。

结论：

我们发现，随着 |λ| 接近 1，隐藏状态和反向传播误差的方差都会爆炸。这意味着，当网络试图编码更长的依赖关系时，其对参数变化的敏感度会急剧增加，从而阻碍学习过程。

减轻记忆的诅咒：解决方案

为了减轻记忆的诅咒，我们可以采用以下方法：

输入归一化： 通过对输入进行归一化，可以控制隐藏状态的方差，避免其爆炸。
特征值重新参数化： 通过对 λ 进行重新参数化，可以控制梯度的大小，避免其爆炸。

状态空间模型和门控 RNN：

状态空间模型和门控 RNN 隐含地包含了这些机制。状态空间模型通过对连续时间微分方程进行离散化来实现，而门控 RNN 通过门控机制来控制信息的流动。

线性教师-学生分析：一个简单模型

为了验证我们的理论，我们设计了一个线性教师-学生任务，其中教师和学生都遵循线性循环动态。

结果：

我们发现，当教师编码更长的依赖关系时，线性 RNN 难以学习，而具有对角连接的 LRU 则表现良好。

对自适应学习率的重要性：

我们还发现，对角连接可以简化损失函数的结构，使自适应学习率优化器能够更好地处理记忆的诅咒。

深度循环神经网络的初始化信号传播：实际验证

为了验证我们的理论在实际应用中的有效性，我们分析了深度循环神经网络在初始化时的信号传播。

结果：

我们发现，在初始化时，复杂对角 RNN 会受到记忆的诅咒的影响，而 LRU 则可以有效地减轻这种影响。

结论

消失和爆炸梯度并非循环神经网络训练的全部故事。记忆的诅咒是一个新的挑战，它源于 RNN 的迭代性质，并在网络接近动态稳定性边缘时出现。重新参数化和自适应学习率可以有效地减轻这种行为，而对角化递归可以简化这两个过程。

我们的分析还揭示了学习复数特征值的复杂性，这可能解释了为什么最近大多数状态空间模型架构中没有发现复数有用。

未来研究方向：

理解如何提高小型线性模块的表达能力，同时保持其优良的优化特性，是一个很有前景的研究方向。

Q: 这篇论文试图解决什么问题？

A: 这篇论文探讨了循环神经网络（Recurrent Neural Networks, RNNs）在学习长期记忆时面临的挑战，尤其是梯度消失和梯度爆炸问题。尽管这些问题已经得到了广泛的研究，但论文指出，即使解决了这些问题，RNNs 在学习过程中仍然会遇到新的困难，即所谓的“记忆的诅咒”（curse of memory）。具体来说，论文的主要贡献和解决的问题包括：

记忆的诅咒：论文提出了一个新的问题，即随着网络记忆能力的增加，网络活动对其参数变化的敏感度也在增加，这使得基于梯度的学习变得非常敏感，即使在没有梯度爆炸的情况下也是如此。
状态空间模型（SSMs）的有效性：论文探讨了状态空间模型（一种特殊的 RNN），这类模型在捕捉长期依赖性方面表现出色。作者试图分析这种有效性是否可以完全归因于它们避免了梯度消失和爆炸。
元素级递归设计模式的重要性：论文分析了元素级递归设计模式与精心设计的参数化在减轻记忆诅咒效应中的重要性。
RNNs 的优化挑战：论文深入探讨了 RNNs 的优化问题，并提出了一些新的见解，解释了为什么某些架构（如 LSTMs 和 SSMs）在基于梯度的学习中表现更好。
理论分析与实验验证：论文不仅在理论上分析了上述问题，还通过简单的教师-学生任务和深度循环网络的实验来验证理论分析的正确性。

总的来说，论文试图提供一个更全面的视角来理解 RNNs 在学习长期依赖性时面临的挑战，并探讨了除了梯度消失和爆炸之外的其他复杂性。

Q: 有哪些相关研究？

A: 论文中提到了多个与循环神经网络（RNNs）及其训练挑战相关的研究领域和具体工作。以下是一些主要的相关研究和它们的贡献：

梯度消失和梯度爆炸问题：
- Hochreiter (1991) [5], Bengio et al. (1994) [6], Hochreiter et al. (2001) [7] 等研究者早期工作强调了在时间反向传播过程中梯度消失或爆炸的困难。
- Pascanu et al. (2013) [8] 对此问题进行了进一步的分析。
解决梯度问题的尝试：
- LSTM (Long Short-Term Memory) 单元 [3] 和 GRU (Gated Recurrent Unit) [23] 通过使用记忆神经元来促进直接信息存储和检索，从而解决了这个问题。
其他方法：
- 梯度裁剪 [24, 8], 活动归一化 [25–27], 谨慎的权重初始化 [28, 29] 或者架构约束（如分层处理 [30, 31], 正交权重矩阵 [32–34] 和振荡 [35–37]）。
注意力机制和 Transformer：
- Bahdanau et al. (2015) [9] 提出了用于神经机器翻译的注意力机制。
- Vaswani et al. (2017) [10] 提出了 Transformer 模型，它通过直接的 token-to-token 通信简化了长序列信号传播。
Transformer 的效率改进：
- 一系列研究 [11–15] 旨在使 Transformer 更加高效，包括更快的自回归 Transformer [12], FlashAttention [13], Switch Transformers [14] 等。
状态空间模型 (SSMs)：
- 一系列研究 [16–22] 探讨了状态空间模型，这是一种新型的线性循环网络，以其捕捉长期依赖性的能力而著称。
优化和学习率理论：
- 有关学习率和优化的理论研究，例如 Noci et al. (2024) [41] 和 Yang et al. (2020) [42]。
深度学习中的信号传播：
- 有关深度神经网络中信号传播的研究，例如 Chen et al. (2018) [50] 和 Cohen et al. (2020) [54]。
在线学习和组合泛化：
- 有关在线学习 [58] 和组合泛化 [59] 的研究。

这些研究为理解 RNNs 的训练挑战、改进它们的性能以及开发新的架构提供了理论基础和实证支持。论文通过引用这些相关工作，建立了其研究的理论背景和实践意义。

Q: 论文如何解决这个问题？

A: 论文通过以下几个步骤来解决循环神经网络（RNNs）在学习长期记忆时遇到的问题：

理论分析：首先，论文对RNNs的优化挑战进行了深入的理论分析，特别是针对“记忆的诅咒”（curse of memory）这一新问题。作者探讨了随着网络记忆的增加，网络活动对参数变化的敏感度如何增加，以及这如何影响梯度的学习。
状态空间模型（SSMs）：论文研究了SSMs这一特殊类型的RNN，这些模型通过避免梯度消失和爆炸问题，以及采用元素级递归设计模式和精心设计的参数化，有效地捕捉长期依赖性。
元素级递归设计模式：论文强调了元素级递归设计模式的重要性，这种设计模式结合了精心的参数化，可以减轻记忆诅咒效应。
教师-学生任务分析：通过一个简单的教师-学生任务，论文展示了线性循环网络的学习复杂性，并分析了所提出的解决方案在这种简单设置中的有效性。
实验验证：论文通过实验验证了理论分析的正确性。作者在深度循环网络中研究了初始化时的信号传播，并比较了不同循环层（如复杂对角线RNN、LRU和LSTM）的性能。
参数化和归一化策略：论文提出了特定的参数化和归一化策略，如输入归一化和特征值重参数化，以控制隐藏状态和梯度的幅度，从而减轻记忆诅咒的影响。
适应性学习率优化器：论文指出，适应性学习率优化器（如Adam）可以有效地解决由于记忆诅咒导致的额外敏感性问题，特别是当这些敏感性集中在少数几个参数上时。

通过这些方法，论文不仅提供了对RNNs训练难题的新解释，还揭示了为什么某些架构（如LSTMs和SSMs）在基于梯度的学习中表现更好，并为设计更易于优化的RNN架构提供了指导。

Q: 论文做了哪些实验？

A: 论文中进行了一系列实验来验证理论分析，并探讨循环神经网络（RNNs）在学习和优化过程中的行为。以下是论文中提到的主要实验：

线性教师-学生任务（Linear Teacher-Student Task）：
- 这是一个简化的设置，用于直观展示记忆诅咒和梯度消失问题是如何相互作用的。
- 作者考虑了一个一维动力学的学生模型，其目标是复现具有复数参数λ*的教师模型的隐藏状态。
- 通过改变λ*的值，研究了在不同记忆长度下，学生模型学习教师行为的难度。
对角连接简化优化（Diagonal Connectivity Simplifies Optimization）：
- 实验中，作者比较了线性RNN和具有对角连接的LRU（Linear Recurrent Unit）在学习长期依赖性时的性能差异。
- 通过调整教师模型的记忆长度（通过控制隐藏维度n和变换参数ν），观察了学生模型在复现教师行为时的困难程度。
自适应学习率的重要性（Importance of Adaptive Learning Rates）：
- 研究了直接参数化循环连接矩阵的复杂特征值如何影响损失景观，并使具有自适应学习率的优化器能够补偿这些行为。
- 通过分析损失函数的Hessian矩阵，展示了在优化过程中，自适应学习率如何帮助处理额外的敏感性。
深度循环网络中的信号传播（Signal Propagation in Deep Recurrent Networks at Initialization）：
- 在深度循环网络中，研究了在初始化时信号如何在网络中传播，以及记忆参数ν如何影响隐藏状态和梯度的方差。
- 比较了不同类型的循环层（如复杂对角线RNN、LRU和LSTM）在信号传播和梯度爆炸方面的表现。
损失景观的结构分析（Structure of the Loss Landscape）：
- 通过可视化和理论分析，研究了在优化过程中损失景观的结构，特别是在对角化和非对角化情况下的差异。
集中特征值分布的影响（Impact of Concentrating Eigenvalue Distributions）：
- 探讨了当特征值分布集中时，对学习动态的影响，特别是在对角RNN和LRU架构中。

这些实验涉及了理论分析、数值模拟和可视化，旨在深入理解RNNs在学习和优化过程中的复杂性，并验证作者提出的理论观点。通过这些实验，论文展示了记忆诅咒问题的存在，并提出了相应的解决方案。

Q: 有什么可以进一步探索的点？

A: 论文中提出了多个可以进一步探索的点，以下是一些主要的研究方向：

复杂参数化：论文讨论了对于复数参数的复杂参数化问题，特别是角度参数的困难。研究如何改进这种参数化，以便更好地优化和学习可能是一个有价值的方向。
自适应学习率优化器：论文指出自适应学习率优化器（如Adam）在处理敏感性方面表现出色。进一步研究这些优化器与RNN架构的相互作用，以及如何改进它们以更好地处理长期依赖性，可能是一个有前景的领域。
状态空间模型（SSMs）：SSMs在捕捉长期依赖性方面表现出色，但它们的表达能力有限。研究如何增加SSMs的表达能力，同时保持它们的快速训练速度，可能是一个重要的研究方向。
深度循环网络的初始化：论文在初始化时研究了深度循环网络中的信号传播。探索不同的初始化策略，以及它们如何影响网络的训练动态和最终性能，可能是一个有价值的研究领域。
损失景观的结构：论文分析了损失景观的结构，特别是在对角化和非对角化情况下的差异。进一步研究这些结构如何影响优化过程，以及如何设计损失函数以促进更好的学习，可能是一个有趣的方向。
集中特征值分布的影响：论文探讨了集中特征值分布对学习动态的影响。研究如何管理这些分布，以及它们如何影响不同架构（如对角RNN和LRU）的性能，可能是一个值得探索的领域。
模块化和独立机制：论文提出了神经元和自适应学习率优化器之间的共生关系。研究如何设计具有模块化和独立机制的网络，以及这些设计如何促进在线学习、组合泛化和并行化，可能是一个有潜力的研究方向。
理论与实践的结合：论文中的一些理论分析和实验结果表明，理论与实践之间存在差距。进一步探索这种差距的原因，并开发能够弥合这一差距的方法和理论，可能是一个重要的研究领域。
长期依赖性学习：尽管论文讨论了长期依赖性学习的一些挑战，但这一领域仍然存在许多未解决的问题。研究新的架构和技术，以更有效地学习长期依赖性，可能是一个持续的研究主题。

这些探索点为未来的研究提供了丰富的思路，有助于推动循环神经网络和深度学习领域的进一步发展。

Q: 总结一下论文的主要内容

A: 这篇论文深入探讨了循环神经网络（Recurrent Neural Networks, RNNs）在学习长期依赖性时面临的挑战，并提出了新的见解和解决方案。以下是论文的主要内容总结：

问题背景：RNNs 在学习长期记忆时，由于梯度消失和梯度爆炸问题，训练变得非常困难。尽管现有研究已经提出了多种解决这些问题的方法，但论文指出，即使这些问题得到解决，RNNs 仍然面临其他挑战。
记忆的诅咒：论文提出了一个新的问题——“记忆的诅咒”。随着网络记忆的增加，网络活动对参数变化的敏感度也在增加，这使得基于梯度的学习变得非常敏感。
状态空间模型（SSMs）：论文研究了状态空间模型，这是一类特殊的 RNN，它们能够有效地捕捉长期依赖性。作者探讨了 SSMs 的成功是否可以完全归因于它们避免了梯度消失和爆炸。
元素级递归设计模式：论文强调了元素级递归设计模式的重要性，并指出结合精心设计的参数化可以减轻记忆诅咒效应。
理论分析：论文通过理论分析，展示了 RNNs 在信号传播方面的行为，特别是在对角化和非对角化情况下的差异。
实验验证：通过一系列实验，包括线性教师-学生任务、深度循环网络的信号传播分析等，论文验证了理论分析的正确性，并展示了所提出解决方案的有效性。
自适应学习率优化器：论文指出，自适应学习率优化器（如 Adam）可以有效地解决由于记忆诅咒导致的额外敏感性问题。
损失景观结构：论文分析了损失景观的结构，特别是在对角化和非对角化情况下的差异，以及如何通过参数化和归一化策略来控制隐藏状态和梯度的幅度。
未来研究方向：论文提出了多个未来研究方向，包括改进参数化、优化器与架构的相互作用、损失函数设计、初始化策略等。
结论：论文得出结论，虽然梯度消失和爆炸问题是 RNNs 训练中的挑战，但解决这些问题并不足以确保良好的学习性能。通过揭示新的挑战和解决方案，论文为理解和改进 RNNs 的训练提供了新的视角。

总的来说，这篇论文通过理论分析和实验验证，为理解和解决 RNNs 在学习长期依赖性时面临的挑战提供了深入的见解，并提出了一系列有价值的研究方向。

循环神经网络（RNNs）长期以来一直是处理时间序列数据的经典架构。然而，RNN在长序列训练中面临的一个主要难题就是梯度的消失和爆炸。尽管近年来状态空间模型（SSMs），作为RNN的一种子类，成功解决了这些问题，但它们的成功却挑战了我们对理论的理解。本文将深入探讨RNN的优化挑战，并发现随着网络记忆的增加，参数变化会导致输出变化剧烈，即使没有梯度爆炸，基于梯度的学习仍然非常敏感。我们的分析还揭示了元素级递归设计模式结合细致参数化在缓解这一问题中的重要性。这一特性存在于SSMs以及其他架构，如LSTM中。总体而言，我们的见解为RNN基于梯度学习的一些困难提供了新的解释，并解释了为什么某些架构比其他架构表现更好。

循环神经网络的挑战

循环神经网络（RNN）在处理时间序列数据方面表现出色，但它们在训练长序列时面临显著挑战，主要是因为误差信号在时间反向传播过程中会消失或爆炸。注意力机制（如Transformer中所用）通过允许直接的token-to-token通信，极大地简化了长时间间隔内的信号传播，解决了这些问题。然而，Transformer的性能提升伴随着计算和内存消耗的增加，这激发了大量研究以提高其效率。

一种有前景的研究方向是线性递归网络的新类型，即状态空间模型（SSMs）。这些模型以更快的训练速度换取表达能力的降低，并已被证明在捕捉长程依赖性方面特别有效。我们在本文中探讨这种有效性是否仅仅归因于它们避免了梯度消失和爆炸。由于这些模型的简单性，它们为深入的理论分析提供了机会。我们重点研究这些模型中的信号传播。

在回顾经典的RNN结果后，我们发现它们会遭遇一个被忽视的问题：记忆的诅咒。当递归网络编码更长的记忆时，网络活动对参数变化变得极其敏感，即使网络动态保持稳定。在第三部分，我们展示了SSMs及其他架构如LSTM如何有效地缓解这一问题。最后，我们通过分析一个简单的教师-学生任务，揭示了线性递归网络学习的复杂性，并讨论了我们的发现如何扩展到更现实的场景。

消失和爆炸梯度问题

首先介绍我们将在本文中使用的符号。我们考虑一个具有隐藏状态 $h_t$ 的循环神经网络，更新函数 $f_\theta$ 由参数 $\theta$ 参数化，以及输入序列 $(x_t)_t$ 。网络的平均性能通过损失 $L$ 来衡量。我们有：

$h_{t+1} = f_\theta(h_t, x_{t+1}) \quad \text{和} \quad L = \mathbb{E} \left[ \sum_{t=1}^T L_t(h_t) \right]$

瞬时损失 $L_t$ 相对于参数 $\theta$ 的梯度等于：

$\frac{dL_t}{d\theta} = \frac{\partial L_t}{\partial h_t} \frac{dh_t}{d\theta} = \frac{\partial L_t}{\partial h_t} \sum_{t' \le t} \frac{dh_t}{dh_{t'}} \frac{\partial f_\theta}{\partial \theta} (h_{t'-1}, x_{t'})$

早期研究指出，梯度下降很难让RNN记住将来有用的过去输入，因为误差信号在时间反向传播过程中要么消失要么爆炸。关键的量是：

$\frac{dh_t}{dh_{t'}} = \prod_{i=t'}^{t-1} \frac{\partial h_{i+1}}{\partial h_i} = \prod_{i=t'}^{t-1} \frac{\partial f_\theta}{\partial h}(h_i, x_{i+1})$

当雅可比矩阵 $\frac{\partial h_{i+1}}{\partial h_i}$ 的谱半径小于1时，这个量会指数级收敛到0；如果存在大于1的分量，它会指数级爆炸。随着时间跨度的增加，过去隐藏状态对当前损失的贡献变得要么可忽略不计，要么占主导地位，这使得基于梯度的长期记忆学习变得困难。

记忆的诅咒

解决了消失和爆炸梯度问题后，RNN是否就能顺利学习长程依赖了呢？我们发现并非如此。即使动态稳定，随着网络记忆的增加，梯度仍可能爆炸。

直观理解

RNN的特殊之处在于同一个更新函数 $f_\theta$ 被反复应用。因此，修改参数不仅影响单次更新，而是所有更新。随着网络记忆的增加，隐藏状态对参数变化变得越来越敏感，即使没有梯度爆炸，学习参数仍变得更加困难，这就是记忆的诅咒。

线性对角递归神经网络中的信号传播

我们研究了在编码长程依赖时，隐藏状态和梯度幅度如何演变。理想情况下，这些量不应消失或爆炸。我们做了以下假设：

线性对角递归神经网络：我们限制更新函数为 $f_\theta(h_t, x_{t+1}) = \lambda \odot h_t + x_{t+1}$ ，其中 $\lambda$ 是与 $h_t$ 同维的向量， $\odot$ 表示元素级乘积。
无限时间视角：考虑无限序列，并在 $t_0 = -\infty$ 初始化网络动态。
广义平稳：假设网络接收的不同量（包括输入 $x_t$ ）是广义平稳的，即自相关函数与时间无关。

在这些假设下，我们分析了单层递归网络中的信号传播，发现当 $|λ| \to 1$ 时，隐藏状态和反向传播的误差都会爆炸。

缓解记忆的诅咒

给定这一问题，如何缓解呢？对角连接的递归网络特别适合。除了避免梯度爆炸，它们还通过输入归一化和重新参数化来缓解记忆的诅咒。

解决方案：归一化和重新参数化

通过引入输入归一化和重新参数化，我们可以保持隐藏状态和梯度的幅度稳定。例如，为了保持 $E[h_t^2]$ 和 $E[(d_\lambda h_t)^2]$ 独立于 $\lambda$ ，我们可以引入一个归一化因子 $\gamma(\lambda)$ ，并选择适当的参数化方式来控制 $\lambda$ 。

复杂数的情况

对于复杂数 $\lambda$ ，合适的参数化更加困难。我们的分析表明，若 $\lambda$ 参数化为 $\nu \exp(i\theta)$ ，则 $\theta$ 的参数化必须依赖于 $\nu$ ，但反之不然。尽管如此，这种参数化并不会妨碍学习。

多种RNN架构的比较

状态空间模型和门控RNN都具有某种形式的归一化和重新参数化机制，有助于信号传播。我们比较了这些机制在不同架构中的作用，发现状态空间模型和门控RNN在缓解记忆的诅咒方面表现出色。

线性教师-学生分析

我们考虑一个教师-学生任务，教师和学生都是线性递归网络。尽管这是最简单的设置，但它揭示了RNN学习中的复杂性。通过一维和多维情况的实验，我们发现对角化显著简化了优化过程，并且自适应学习率对缓解记忆的诅咒至关重要。

自适应学习率的重要性

自适应学习率可以有效应对梯度的爆炸。我们分析了损失函数的Hessian矩阵，发现对角化结构有助于自适应优化器更好地处理较大的曲率，从而加速学习。

深度递归网络中的信号传播

我们进一步验证了理论趋势在实际中的适用性。通过在深度递归网络中初始化信号传播，实验结果验证了复杂数RNN、LRU和LSTM在不同记忆长度下的表现。我们发现LRU在前向和反向传递中几乎完全缓解了记忆的诅咒，而LSTM则通过特定参数化保持了梯度的稳定。

结论

梯度消失和爆炸使得RNN的学习变得复杂，但解决这些问题并非终点。我们发现，RNN的迭代特性在动态稳定的边缘引发了另一个学习困难。通过重新参数化和自适应学习率可以有效缓解这一问题，而对角化递归简化了优化过程。我们的分析还揭示了学习复杂数特征的复杂性，这可能解释了为什么复杂数在最新的状态空间模型架构中并不常见。

未来研究可以进一步探索如何在保持良好优化特性的同时，提高小型线性模块的表达能力。理解模块化设计在不同场景中的应用，可能会为构建更高效和强大的神经网络提供新的思路。

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循环神经网络：消失和爆炸梯度并非全部故事