借一æ¥ç½‘
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在这个数å—化的时代,我们常常需è¦åœ¨å¤æ‚的网络ä¸æ‰¾åˆ°æœ€ä¼˜è§£ã€‚æƒ³è±¡ä¸€ä¸‹ï¼Œä½ æ£ç«™åœ¨ä¸€ç‰‡é”æ³•æ£®æž—çš„è¾¹ç¼˜ï¼Œä½ çš„ä»»åŠ¡æ˜¯ç”¨æœ€å°‘çš„é”法能é‡è¿žæŽ¥æ£®æž—ä¸çš„æ‰€æœ‰ç¥žå¥‡æ ‘æœ¨ã€‚è¿™å°±æ˜¯æ™®é‡Œå§†ç®—æ³•è¦è§£å†³çš„问题,它就åƒæ˜¯ä¸€ä½ç²¾æ˜Žçš„森林å‘导,带领我们用最çœåŠ›çš„æ–¹å¼æŽ¢ç´¢æ•´ç‰‡æ£®æž—。让我们一起è¸ä¸Šè¿™æ®µå¥‡å¦™çš„旅程,æ开普里姆算法的神秘é¢çº±ï¼
普里姆算法,这ä½æ¥è‡ªå›¾è®ºä¸–界的é”法师,其主è¦ä»»åŠ¡æ˜¯åœ¨ä¸€ä¸ªåŠ æƒæ— å‘图ä¸æ‰¾åˆ°ä¸€æ£µæœ€å°ç”Ÿæˆæ ‘。这å¬èµ·æ¥å¯èƒ½æœ‰ç‚¹æŠ½è±¡ï¼Œè®©æˆ‘们用更生动的方å¼æ¥ç†è§£å®ƒï¼š
æƒ³è±¡ä½ æ˜¯ä¸€ä¸ªåŸŽå¸‚è§„åˆ’å¸ˆï¼Œä½ çš„ä»»åŠ¡æ˜¯ç”¨æœ€å°‘çš„æˆæœ¬å°†åŸŽå¸‚ä¸çš„所有建ç‘连接起æ¥ã€‚æ¯æ¡å¯èƒ½çš„é“路都有ä¸åŒçš„建设æˆæœ¬ï¼ˆè¿™å°±æ˜¯æˆ‘们说的”åŠ æƒ”ï¼‰ï¼Œè€Œä½ éœ€è¦æ‰¾åˆ°ä¸€ç§æ–¹æ¡ˆï¼Œæ—¢èƒ½è¿žæŽ¥æ‰€æœ‰å»ºç‘,åˆèƒ½ä½¿æ€»æˆæœ¬æœ€å°ã€‚这就是普里姆算法所è¦è§£å†³çš„问题。
æ™®é‡Œå§†ç®—æ³•çš„æ ¸å¿ƒæ€æƒ³å¯ä»¥æ¦‚æ‹¬ä¸ºä»¥ä¸‹å‡ ä¸ªæ¥éª¤ï¼š
这个过程就åƒæ˜¯ä¸€ä¸ªä¸æ–ç”Ÿé•¿çš„æ ‘ï¼Œæ¯æ¬¡éƒ½é€‰æ‹©æœ€ç»æµŽçš„æ–¹å¼æ¥æ‰©å±•è‡ªå·±çš„æžå¶ï¼Œç›´åˆ°è¦†ç›–了整个城市。
让我们用一个具体的例åæ¥å±•ç¤ºæ™®é‡Œå§†ç®—法的é”力:
graph LR A((A. ) --- |2| B((B))✅ A --- |6| D((D. )✅ B --- |3| C((C. )✅ B --- |8| D B --- |5| E((E. )✅ C --- |7| E D --- |9| E
在这个图ä¸ï¼Œæ¯ä¸ªå—æ¯ä»£è¡¨ä¸€ä¸ªå»ºç‘,连线上的数å—代表建设é“路的æˆæœ¬ã€‚现在,让我们一æ¥æ¥åœ°åº”用普里姆算法:
最终的最å°ç”Ÿæˆæ ‘如下:
graph LR A((A. ) --- |2| B((B))✅ A --- |6| D((D. )✅ B --- |3| C((C. )✅ B --- |5| E((E. )✅
总æˆæœ¬ä¸ºï¼š2 + 3 + 5 + 6 = 16
这就是普里姆算法的é”法ï¼å®ƒå¸®åŠ©æˆ‘们用最å°çš„总æˆæœ¬è¿žæŽ¥äº†æ‰€æœ‰çš„建ç‘。
普里姆算法的优雅之处在于它的贪心ç–略。在æ¯ä¸€æ¥ï¼Œå®ƒéƒ½åšå‡ºå½“å‰çœ‹èµ·æ¥æœ€å¥½çš„选择,而ä¸è€ƒè™‘未æ¥çš„å½±å“。这ç§ç–略在很多情况下都能得到全局最优解,这就是它的é…力所在。
让我们用数å¦è¯è¨€æ¥æ述这个过程:
设 是一个带æƒæ— å‘å›¾ï¼Œå…¶ä¸ æ˜¯é¡¶ç‚¹é›†ï¼Œ 是边集isbos。æ¯æ¡è¾¹ 都有一个æƒé‡ ã€‚ç®—æ³•çš„ç›®æ ‡æ˜¯æ‰¾åˆ°ä¸€ä¸ªå图 ,使得 æ˜¯ä¸€æ£µæ ‘ï¼Œä¸” 最å°ã€‚
在æ¯ä¸€æ¥ï¼Œç®—法选择一æ¡è¾¹ ï¼Œå…¶ä¸ åœ¨å½“å‰æ ‘ä¸ï¼Œ ä¸åœ¨ï¼Œä¸” 最å°ã€‚è¿™å¯ä»¥ç”¨ä¸‹é¢çš„æ•°å¦è¡¨è¾¾å¼è¡¨ç¤ºï¼š
普里姆算法ä¸ä»…仅是一个ç†è®ºä¸Šçš„概念,它在现实世界ä¸æœ‰ç€å¹¿æ³›çš„应用:
让我们æ¥çœ‹çœ‹å¦‚何用Python实现这个神奇的算法:
import sys class Graph: def __init__(self, vertices): self.V = vertices self.graph = [[0 for column in range(vertices)] for row in range(vertices)] def printMST(self, parent): print("Edge \tWeight") for i in range(1, self.V. :✅ print(parent[i], "-", i, "\t", self.graph[i][parent[i]]) def minKey(self, key, mstSet): min = sys.maxsize min_index = -1 for v in range(self.V. :✅ if key[v] < min and mstSet[v] == False: min = key[v] min_index = v return min_index def primMST(self): key = [sys.maxsize] * self.V parent = [None] * self.V key[0] = 0 mstSet = [False] * self.V parent[0] = -1 for cout in range(self.V. :✅ u = self.minKey(key, mstSet) mstSet[u] = True for v in range(self.V. :✅ if self.graph[u][v] > 0 and mstSet[v] == False and key[v] > self.graph[u][v]: key[v] = self.graph[u][v] parent[v] = u self.printMST(parent) # 使用示例 g = Graph(5) g.graph = [[0, 2, 0, 6, 0], [2, 0, 3, 8, 5], [0, 3, 0, 0, 7], [6, 8, 0, 0, 9], [0, 5, 7, 9, 0]] g.primMST()
这个实现使用了邻接矩阵æ¥è¡¨ç¤ºå›¾ï¼Œæ—¶é—´å¤æ‚度为 ï¼Œå…¶ä¸ æ˜¯é¡¶ç‚¹çš„æ•°é‡ã€‚对于大型图,我们å¯ä»¥ä½¿ç”¨ä¼˜å…ˆé˜Ÿåˆ—æ¥ä¼˜åŒ–算法,将时间å¤æ‚度é™ä½Žåˆ° ï¼Œå…¶ä¸ æ˜¯è¾¹çš„æ•°é‡ã€‚
普里姆算法虽然已ç»è¯žç”Ÿå¤šå¹´ï¼Œä½†å®ƒä»ç„¶åœ¨ä¸æ–è¿›åŒ–ã€‚ç ”ç©¶è€…ä»¬æ£åœ¨æŽ¢ç´¢å¦‚何将它应用到更å¤æ‚的问题ä¸ï¼Œä¾‹å¦‚在动æ€å˜åŒ–的图ä¸æ‰¾æœ€å°ç”Ÿæˆæ ‘,或者在分布å¼ç³»ç»Ÿä¸å®žçŽ°é«˜æ•ˆçš„普里姆算法。
å°±åƒé”法森林ä¸çš„æ ‘æœ¨ä¼šä¸æ–ç”Ÿé•¿ä¸€æ ·ï¼Œæ™®é‡Œå§†ç®—æ³•ä¹Ÿåœ¨ä¸Žæ—¶ä¿±è¿›ï¼Œä¸æ–适应新的挑战。它æ醒我们,有时候,最简å•çš„ç–ç•¥å而能解决最å¤æ‚的问题。在这个数æ®çˆ†ç‚¸çš„æ—¶ä»£ï¼Œæ™®é‡Œå§†ç®—æ³•æ— ç–‘æ˜¯æˆ‘ä»¬æŽ¢ç´¢å¤æ‚网络的é‡è¦å·¥å…·ä¹‹ä¸€ã€‚
让我们期待这个å¤è€è€Œåˆå……满活力的算法在未æ¥ä¼šç»½æ”¾å‡ºæ›´åŠ 绚丽的光芒ï¼
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在这个数å—化的时代,我们常常需è¦åœ¨å¤æ‚的网络ä¸æ‰¾åˆ°æœ€ä¼˜è§£ã€‚æƒ³è±¡ä¸€ä¸‹ï¼Œä½ æ£ç«™åœ¨ä¸€ç‰‡é”æ³•æ£®æž—çš„è¾¹ç¼˜ï¼Œä½ çš„ä»»åŠ¡æ˜¯ç”¨æœ€å°‘çš„é”法能é‡è¿žæŽ¥æ£®æž—ä¸çš„æ‰€æœ‰ç¥žå¥‡æ ‘æœ¨ã€‚è¿™å°±æ˜¯æ™®é‡Œå§†ç®—æ³•è¦è§£å†³çš„问题,它就åƒæ˜¯ä¸€ä½ç²¾æ˜Žçš„森林å‘导,带领我们用最çœåŠ›çš„æ–¹å¼æŽ¢ç´¢æ•´ç‰‡æ£®æž—。让我们一起è¸ä¸Šè¿™æ®µå¥‡å¦™çš„旅程,æ开普里姆算法的神秘é¢çº±ï¼
🎠åºå¹•ï¼šç®—法的舞å°
普里姆算法,这ä½æ¥è‡ªå›¾è®ºä¸–界的é”法师,其主è¦ä»»åŠ¡æ˜¯åœ¨ä¸€ä¸ªåŠ æƒæ— å‘图ä¸æ‰¾åˆ°ä¸€æ£µæœ€å°ç”Ÿæˆæ ‘。这å¬èµ·æ¥å¯èƒ½æœ‰ç‚¹æŠ½è±¡ï¼Œè®©æˆ‘们用更生动的方å¼æ¥ç†è§£å®ƒï¼š
æƒ³è±¡ä½ æ˜¯ä¸€ä¸ªåŸŽå¸‚è§„åˆ’å¸ˆï¼Œä½ çš„ä»»åŠ¡æ˜¯ç”¨æœ€å°‘çš„æˆæœ¬å°†åŸŽå¸‚ä¸çš„所有建ç‘连接起æ¥ã€‚æ¯æ¡å¯èƒ½çš„é“路都有ä¸åŒçš„建设æˆæœ¬ï¼ˆè¿™å°±æ˜¯æˆ‘们说的”åŠ æƒ”ï¼‰ï¼Œè€Œä½ éœ€è¦æ‰¾åˆ°ä¸€ç§æ–¹æ¡ˆï¼Œæ—¢èƒ½è¿žæŽ¥æ‰€æœ‰å»ºç‘,åˆèƒ½ä½¿æ€»æˆæœ¬æœ€å°ã€‚这就是普里姆算法所è¦è§£å†³çš„问题。
🧙â€â™‚ï¸ ç¬¬ä¸€å¹•ï¼šç®—æ³•çš„é”法咒è¯
æ™®é‡Œå§†ç®—æ³•çš„æ ¸å¿ƒæ€æƒ³å¯ä»¥æ¦‚æ‹¬ä¸ºä»¥ä¸‹å‡ ä¸ªæ¥éª¤ï¼š
这个过程就åƒæ˜¯ä¸€ä¸ªä¸æ–ç”Ÿé•¿çš„æ ‘ï¼Œæ¯æ¬¡éƒ½é€‰æ‹©æœ€ç»æµŽçš„æ–¹å¼æ¥æ‰©å±•è‡ªå·±çš„æžå¶ï¼Œç›´åˆ°è¦†ç›–了整个城市。
🎬 第二幕:算法的精彩表演
让我们用一个具体的例åæ¥å±•ç¤ºæ™®é‡Œå§†ç®—法的é”力:
在这个图ä¸ï¼Œæ¯ä¸ªå—æ¯ä»£è¡¨ä¸€ä¸ªå»ºç‘,连线上的数å—代表建设é“路的æˆæœ¬ã€‚现在,让我们一æ¥æ¥åœ°åº”用普里姆算法:
最终的最å°ç”Ÿæˆæ ‘如下:
总æˆæœ¬ä¸ºï¼š2 + 3 + 5 + 6 = 16
这就是普里姆算法的é”法ï¼å®ƒå¸®åŠ©æˆ‘们用最å°çš„总æˆæœ¬è¿žæŽ¥äº†æ‰€æœ‰çš„建ç‘。
🎠第三幕:算法的内在美
普里姆算法的优雅之处在于它的贪心ç–略。在æ¯ä¸€æ¥ï¼Œå®ƒéƒ½åšå‡ºå½“å‰çœ‹èµ·æ¥æœ€å¥½çš„选择,而ä¸è€ƒè™‘未æ¥çš„å½±å“。这ç§ç–略在很多情况下都能得到全局最优解,这就是它的é…力所在。
让我们用数å¦è¯è¨€æ¥æ述这个过程:
设
是一个带æƒæ— å‘图,其ä¸
是顶点集,
是边集isbos。æ¯æ¡è¾¹
都有一个æƒé‡
ã€‚ç®—æ³•çš„ç›®æ ‡æ˜¯æ‰¾åˆ°ä¸€ä¸ªå图
,使得
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最å°ã€‚
在æ¯ä¸€æ¥ï¼Œç®—法选择一æ¡è¾¹
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🎨 第四幕:算法的多彩应用
普里姆算法ä¸ä»…仅是一个ç†è®ºä¸Šçš„概念,它在现实世界ä¸æœ‰ç€å¹¿æ³›çš„应用:
🎬 终幕:算法的实现与优化
让我们æ¥çœ‹çœ‹å¦‚何用Python实现这个神奇的算法:
这个实现使用了邻接矩阵æ¥è¡¨ç¤ºå›¾ï¼Œæ—¶é—´å¤æ‚度为
,其ä¸
是顶点的数é‡ã€‚对于大型图,我们å¯ä»¥ä½¿ç”¨ä¼˜å…ˆé˜Ÿåˆ—æ¥ä¼˜åŒ–算法,将时间å¤æ‚度é™ä½Žåˆ°
,其ä¸
是边的数é‡ã€‚
🌟 åŽä¸½è°¢å¹•ï¼šç®—法的未æ¥å±•æœ›
普里姆算法虽然已ç»è¯žç”Ÿå¤šå¹´ï¼Œä½†å®ƒä»ç„¶åœ¨ä¸æ–è¿›åŒ–ã€‚ç ”ç©¶è€…ä»¬æ£åœ¨æŽ¢ç´¢å¦‚何将它应用到更å¤æ‚的问题ä¸ï¼Œä¾‹å¦‚在动æ€å˜åŒ–的图ä¸æ‰¾æœ€å°ç”Ÿæˆæ ‘,或者在分布å¼ç³»ç»Ÿä¸å®žçŽ°é«˜æ•ˆçš„普里姆算法。
å°±åƒé”法森林ä¸çš„æ ‘æœ¨ä¼šä¸æ–ç”Ÿé•¿ä¸€æ ·ï¼Œæ™®é‡Œå§†ç®—æ³•ä¹Ÿåœ¨ä¸Žæ—¶ä¿±è¿›ï¼Œä¸æ–适应新的挑战。它æ醒我们,有时候,最简å•çš„ç–ç•¥å而能解决最å¤æ‚的问题。在这个数æ®çˆ†ç‚¸çš„æ—¶ä»£ï¼Œæ™®é‡Œå§†ç®—æ³•æ— ç–‘æ˜¯æˆ‘ä»¬æŽ¢ç´¢å¤æ‚网络的é‡è¦å·¥å…·ä¹‹ä¸€ã€‚
让我们期待这个å¤è€è€Œåˆå……满活力的算法在未æ¥ä¼šç»½æ”¾å‡ºæ›´åŠ 绚丽的光芒ï¼
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