梯度流：从数学到魔法的奇幻旅程

导言：梯度流的神奇世界

在数学和机器学习的广袤世界中，有一个神秘的概念被称为“梯度流（Gradient Flow）”。如果你对梯度下降法有一定了解，那么你应该知道它是寻找函数最小值的强大工具。而梯度流，则是将这个寻找最小值的过程中的各个点连接起来，形成一条随时间变化的轨迹。本文将带你深入探讨这个奇妙的概念，并进一步扩展到概率空间，揭示出“Wasserstein梯度流”的神秘面纱。

梯度下降：从山顶到山谷的滑梯

1.1 梯度下降的基本原理

假设我们站在一座山顶，想要找到最低谷的那一点。为了实现这个目标，我们可以使用梯度下降法。这个方法的核心在于，我们总是沿着当前点的负梯度方向前进，因为负梯度方向是局部下降最快的方向。具体的迭代公式如下：

xt+1 = xt − α∇xf(xt)

在这个公式中，xt表示当前的位置，α是学习率，∇xf(xt)是函数在xt点的梯度。如果函数f(x)是凸的，梯度下降通常能够找到最小值。即使函数不是凸的，梯度下降也能让我们接近一个极小值点。

1.2 梯度流的定义

如果我们将学习率α记作Δt，并考虑当Δt趋近于0时的极限情况，那么梯度下降的迭代公式将变为一个常微分方程（ODE）：

dxt/dt = −∇xf(xt)

求解这个ODE得到的轨迹，就是所谓的“梯度流”。换句话说，梯度流是梯度下降在寻找最小值过程中的轨迹。

最速方向：为什么要选择梯度下降

2.1 局部最快下降方向

为什么梯度下降法如此受欢迎？一个常见的说法是“梯度的负方向是局部下降最快的方向”。这个说法虽然没错，但有些不够严谨。因为“最快”涉及到定量比较，只有先确定比较的指标，才能确定“最”的结果。

2.2 约束优化视角

在欧氏空间中，梯度的负方向是局部下降最快的方向。然而，如果我们换一个模长的定义，或者换一个约束条件，结果可能就会不同。因此，从优化的角度来看，梯度下降法对应的优化目标是：

xt+1 = argminx ||x - xt||^2 / (2α) + f(x)

这意味着我们将约束条件转化为一个惩罚项，从而简化了优化过程。

泛函与概率空间：从函数到密度函数

3.1 泛函的引入

普通的多元函数输入一个向量，输出一个标量。而泛函则是输入一个函数，输出一个标量。例如，定积分运算：

I[f] = ∫ba f(x) dx

在这里，I[f]就是一个泛函。我们将关注的泛函定义域为全体概率密度函数的集合，即研究输入一个概率密度、输出一个标量的泛函。

3.2 Wasserstein梯度流的引入

假设我们有一个泛函F[q]，想要计算它的最小值。模仿梯度下降的思路，我们可以沿着它的负方向进行迭代。对于概率分布来说，性态比较好的距离是Wasserstein距离。我们可以将欧氏距离替换为Wasserstein距离，最终得到：

∂qt(x)/∂t = ∇x ⋅ (qt(x) ∇x δF[qt(x)] / δqt(x))

这就是“Wasserstein梯度流”，其中δF[q]/δq是F[q]的变分导数。

应用与示例：从理论到实践

4.1 f散度的应用

例如，对于f散度，我们可以得到：

∂qt(x)/∂t = ∇x ⋅ (qt(x) ∇x(f(rt(x)) − rt(x) f'(rt(x))))

其中，rt(x) = p(x) / qt(x)。这一公式可以帮助我们通过ODE从分布qt中采样。

4.2 逆KL散度的应用

另一个简单的例子是逆KL散度，当我们使用负对数作为函数f时，得到：

∂qt(x)/∂t = -∇x ⋅ (qt(x) ∇x log(p(x) / qt(x)))

这正好是一个Fokker-Planck方程，对应的随机微分方程（SDE）为：

dx = ∇x log(p(x)) dt + √2 dw

这意味着，如果我们知道log(p(x))，那么就可以用上式实现从p(x)中采样。

文章小结

本文介绍了从梯度下降法到梯度流的概念，并进一步扩展到概率空间，引入了Wasserstein梯度流的概念。我们讨论了这些概念与连续性方程、Fokker-Planck方程和ODE/SDE采样之间的联系。通过这些讨论，我们不仅揭示了数学优化中的一些核心原理，还展示了这些原理在概率密度函数优化中的应用。希望这次奇幻旅程让你对梯度流有了更深的理解！

如果你对优化算法和深度学习有更多兴趣，可以参考以下资源：

• 《从动力学角度看优化算法（一）：从SGD到动量加速》
• 《从动力学角度看优化算法（三）：一个更整体的视角》
• 《从Wasserstein距离、对偶理论到WGAN》

愿你在数学与机器学习的世界中探索得愉快，发现更多的奇妙与乐趣！