最近在表示学习领域的研究表明，层次数据在双曲空间中可以得到低维且高度信息丰富的表示。然而，尽管在图像识别中双曲嵌入已经引起了人们的关注，但它们的优化仍然容易受到数值障碍的影响。此外，与传统欧氏特征相比，尚不清楚哪些应用最有可能从双曲性所施加的隐式偏差中受益。在本文中，我们关注原型双曲神经网络。特别地，高维空间中双曲嵌入趋向于收敛到 Poincaré球体的边界，以及这对少样本分类的影响。我们发现，在公共双曲半径下的双曲嵌入可以获得最佳少样本结果。与之前的基准结果相比，我们证明了使用欧氏度量的固定半径编码器可以实现更好的性能，而不管嵌入维数如何。
- 重点：
1. 超球面（hyperbolic space）与欧氏空间（Euclidean space）相似，但曲率不同。
2. 超球面存在多种同形模型，其中最常见的模型是超球面（hyperboloid）和波恩卡雷球（Poincaré ball）。
3. 在机器学习中，超球面模型最常见的应用是波恩卡雷球模型。
4. 波恩卡雷球模型可以从一个超球面模型（hyperboloid model）得到。
5. 在本文中，我们将使用波恩卡雷球模型，该模型可以从超球面模型（hyperboloid model）得到。
6. 考虑 Minkowski 空间 Rd，1={x=(x1, …, xd+1)∈Rd×R}，以及双线性形式（Lorentz 伪标量）L⟨x, x⟩。
7. L 形式在 Rd，1 上不是正定，但在 d-hyperboloid 上半平面内的曲率 k<0 时，是正定的。
8. 我们可以通过包容映射 ϕ 将波恩卡雷球模型从超球面模型得到。
9. 波恩卡雷球模型在原点处的指数映射是 TPd k → Pd k。
10. 这使得我们可以将欧氏空间的神经网络转换为超球空间的神经网络。
11. 在波恩卡雷球模型中，从任何∈Pd k 的 x 和 y 之间的最短路径距离可以通过计算 Pincaré球（Poincaré ball）得到。
12. Ressler 等人提出的剪枝策略包括为 f(x; θ) 设置最大幅度 c，将波恩卡雷球缩小到半径为 c 的球中。
13. 在训练过程中，对于合适的损失函数 L，以及 z := h(x; θ)∈Pd k，可以对欧氏梯度∇z L 进行反向传播（见 [13] 的实现），或者将其转换为 Riemannian 梯度通过反比例缩放 grad z L = λ(z) -2 ∇z L(z)，如 [12] 中所示。
正文完